中央極限定理

中央極限定理：有一母體，期望值為$\mu$，標準差為$\sigma>0$。從母體中取出樣本數為$n$的樣本 $X_1,X_2,...,X_n$，觀察其樣本平均$\overline{X}$，樣本平均的分配我們用抽樣分配稱呼它。當$n$相當大時，其樣本平均$\overline{X}$的抽樣分配近似於$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，其中$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$代表期望值$\mu$，變異數$\frac{\sigma^2}{n}$(標準差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)的常態分配。

例：丟擲一公正的骰子10次，求10次的平均點數的近似分配。
解：$\mu=\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 3+\frac{1}{6}\cdot 4+\frac{1}{6}\cdot 5+\frac{1}{6}\cdot 6=3.5$，$\sigma^2=\frac{1}{6}\cdot (1-3.5)^2 +$ $\frac{1}{6}\cdot (2-3.5)^2 + \frac{1}{6}\cdot (3-3.5)^2 + \frac{1}{6}\cdot (4-3.5)^2 + \frac{1}{6}\cdot (5-3.5)^2 + \frac{1}{6}\cdot (6-3.5)^2 = \frac{35}{12}$。故丟擲10次的平均點數的分布近似於期望值3.5，標準差$\sqrt{\frac{35}{120}}\approx 0.54$的常態分配。
所以，10次的平均點數落在區間$[3.5-0.54,3.5+0.54]=[2.96, 4.04]$的機率大約0.68。

$n$ 要多大，近似才夠準呢？

一般來講，母體的分配對稱時，$n$不需要很大。

自己進行實驗來體會最真實。每次實驗，從母體中取樣$n$個求得樣本平均。實驗$m$次得$m$次的樣本平均，將這些樣本平均畫出累積相對次數折線圖與相對次數直方圖，分別與$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$之累積機率分配函數及機率密度函數相比較。

母體元素有兩種輸入法。第一種，直接輸入以逗點分開的一串數值，這些數值代表從母體抽得的可能數值，每一數值抽到的機率皆相等。例如，要模擬公正的骰子，可輸入"1,2,3,4,5,6"(不包括兩頭的"")。第二種方法，每對資料用空白隔開，前者代表可能值，後者代表該可能值的機率，各對資料再以逗點隔開。例如，"0 0.3, 1 0.7"(不包括兩頭的"")，代表母體有兩個元素，抽到0的機率為0.3，抽到1的機率為0.7。這相當於，某議案贊成的民眾有7成，抽中贊成者代表1，抽中反對者代表0。抽樣樣本數限制為1到10000的整數。實驗次數限制為10到10000的整數。組數限制為10到1000的整數。
圖中，下邊的橫軸以母體的原始資料之單位為單位；上邊的橫軸以樣本平均之標準差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$為單位，以樣本平均期望值$\mu$為原點。
當比較累績相對次數分配時，左邊的縱軸代表機率。當比較相對次數分配時，右邊的縱軸代表次數，長條圖的面積和與常態分配機率密度函數下面的面積相等。綠線代表近似的常態分配。
上限代表紅線的位置，實際頻率為樣本平均觀察值落在紅線左邊的頻率，近似機率為樣本平均的近似常態分配落在紅線左邊的機率。拖曳紅線上方的圓圈可得兩者差距的數值。

母體元素

抽樣樣本數$n$: 實驗次數$m$: 組數(相對次數直方圖): 累積相對次數折線圖 相對次數直方圖

母體期望值$\mu:$ 未算 , 母體標準差$\sigma:$ 未算 , 樣本平均抽樣分配的期望值$\mu:$ 未算 , 樣本平均抽樣分配的標準差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}:$ 未算 , 上限: 未算 , 近似機率: 未算 , 實際頻率: 未算 , 實際頻率$-$近似機率: 未算